Записывается в виде расширенной матрицы, т.е. в столбец свободных членов помещается в одну матрицу с коэффициентами неизвестных. Аалгоритм заключается в приведении исходной матрицы, характеризующей систему линейных уравнений, к единичной путем эквивалентных преобразований (домножения строки матрицы на константу и сложения с другой строкой матрицы). В качестве константы используется 1/a[i][i] , т.е. число, обратное по отношению к элементу диагонали. Естественно, в ряде случаев возникают проблемы, связанные с делением на ноль, которые решаются перестановкой строк и столбцов:

Весь алгоритм можно представить 10 пунктами:

В качестве опорной выбираем первую строку матрицы.

Если элемент опорной строки, индекс которого равен номеру опорной строки, равен нулю, то меняем всю опорную строку на первую попавшуюся строку снизу, в столбце которого нет нуля.

Все элементы опорной строки делим на первый слева ненулевой элемент этой строки.

Из оставшихся снизу строк вычитают опорную строку, умноженную на элемент, индекс которого равен номеру опорной строки.

В качестве опорной строки выбираем следующую строку.

Повторяем действия 2 – 5 пока номер опорной строки не превысит число строк.

В качестве опорной выбираем последнюю строку.

Вычитаем из каждой строки выше опорную строку, умноженную на элемент этой строки с индексом равным номеру опорной строки.

В качестве опорной строки выбираем строку выше.

Повторяем 8 – 9 пока номер опорной строки не станет меньше номера первой строки.

Пример расчета 1

Пусть имеется система уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

и выполним элементарные преобразования ее строк.

Для этого умножим первую строку на 1 и вычитаем из второй строки; затем умножим первую строку на 2 и вычтем из третьей строки.

В результате мы исключим переменную x 1 из всех уравнений, кроме первого. Получим:

Теперь вычтем из строки 3 строку 2, умноженную на 3:

Теперь вычитаем из 1 строки сначала 3 строку, а затем 2 строку:

После преобразований получаем систему уравнений:

Из этого следует, что система уравнений имеет следующее решение:

x1 = 1, x2 = 3 , x3 = -1

Пример расчета 2

В качестве примера решим систему уравнений, представленную в виде матрицы (Таблица 1), методом Гаусса – Жордана.

Делим первую строку на 3 (элемент первой строки, расположенный на главной диагонали), получим:

Умножаем первую строку на 1 и вычитаем из второй строки. Умножаем первую строку на 6 и вычитаем из третьей строки. Получим:

В первом столбце все элементы кроме диагонального равны нулю, займемся вторым столбцом, для этого выберем вторую строку в качестве опорной. Вторая Делим ее на 17/3:

Умножаем строку 2 на -6 и вычитаем из третьей строки:

Теперь третья строка – опорная, делим ее на -33/17:

Умножаем опорную строку на 3/17 и вычитаем ее из второй. Умножаем третью строку на 1 и вычитаем ее из первой

Получена треугольная матрица, начинается обратный ход алгоритма (во время которого получим единичную матрицу). Вторая строка становится опорной. Умножаем третью строку на 4/3 и вычитаем ее из первой:

Последний столбец матрицы – решение системы уравнений.

Каждой системе линейных уравнений поставим в соответствие расширенную матрицу , полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов:

Метод Жордана–Гаусса применяется для решения системы m линейных уравнений с n неизвестными вида:

Данный метод заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе уравнений с матрицей определенного вида.

Над строками расширенной матрицы осуществляем следующие элементарные преобразования:

1. перестановка двух строк ;

2. умножение строки на любое число, отличное от нуля ;

3. прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число ;

4. отбрасывание нулевой строки (столбца) .

Пример 2.11. Решить методом Жордана–Гаусса системы линейных уравнений:

а ) Х 1 + Х 2 + 2Х 3 = -1

2Х 1 - Х 2 + 2Х 3 = -4

4Х 1 + Х 2 + 4Х 3 = -2

Решение: Составим расширенную матрицу:

Итерация 1

В качестве направляющего элемента выбираем элемент . Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на (-2) и (-4). Получим матрицу:

На этом первая итерация закончена.

Итерация 2

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим вторую строку на -3. Затем умножаем вторую строку соответственно на (-1) и на 3 и складываем соответственно с первой и третьей строками. Получим матрицу

Итерация 3

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим третью строку на (-2). Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого умножаем третью строку соответственно на (-4/3) и на (-2/3) и складываем соответственно с первой и второй строками. Получим матрицу

откуда Х 1 = 1, Х 2 = 2, Х 3 = -2.

Закончив решение, на этапе обучения необходимо выполнять проверку, подставив найденные значения в исходную систему, которая при этом должна обратиться в верные равенства.

б ) Х 1 – Х 2 + Х 3 – Х 4 = 4

Х 1 + Х 2 + 2Х 3 +3Х 4 = 8

2Х 1 +4Х 2 + 5Х 3 +10Х 4 = 20

2Х 1 – 4Х 2 + Х 3 – 6Х 4 = 4

Решение: Расширенная матрица имеет вид:

Применяя элементарные преобразования, получим:

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:

Х 1 – 3Х 2 – 5Х 4 = 0

2Х 2 + Х 3 + 4Х 4 = 4

Последние две строки матрицы A (2) являются линейно зависимыми.

Определение. Строки матрицы e 1 , e 2 ,…, e m называются линейно зависимыми , если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

где 0 =(0, 0…0). Строки матрицы являются линейно независимыми , когда комбинация этих строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю.

В линейной алгебре очень важно понятие ранга матрицы , т.к. оно играет очень большое значение при решении систем линейных уравнений.

Теорема 2.3 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы).

Ранг матрицы A (2) равен 2, т.к. в ней максимальное число линейно независимых строк равно 2 (это первые две строки матрицы).

Теорема 2.4 (Кронекера–Капели). Система линейных уравнений совместна и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы системы меньше числа переменных, т.е. r < n, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

В данном случае система имеет 4 переменных, а её ранг равен 2, следовательно, она имеет бесконечное множество решений.

Определение. Пусть r < n , r переменных x 1 , x 2 ,…, x r называются базисными , если определитель матрицы из коэффициентов при них (базисный минор ) отличен от нуля. Остальные n – r переменных называются свободными .

Определение. Решение системы, в котором все n – r свободных переменных равны нулю, называется базисным .

Совместная система m линейных уравнений с n переменными (m < n ) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее , где .

В нашем случае , т.е. система имеет не более 6 базисных решений.

Общее решение имеет вид:

Х 1 = 3Х 2 +5Х 4

Х 3 = 4 – 2Х 2 – 4Х 4

Найдем базисные решения. Для этого полагаем Х 2 = 0, Х 4 = 0, тогда Х 1 =0, Х 3 = 4. Базисное решение имеет вид: (0, 0, 4, 0).

Получим другое базисное решение. Для этого в качестве свободных неизвестных примем Х 3 и Х 4 . Выразим неизвестные Х 1 и Х 2 через неизвестные Х 3 и Х 4:

Х 1 = 6 – 3/2Х 2 – Х 4

Х 2 = 2 – 1/2Х 3 – 2Х 4 .

Тогда базисное решение имеет вид: (6, 2, 0, 0).

Пример 2.12. Решить систему:

X 1 + 2X 2 – X 3 = 7

2X 1 – 3X 2 + X 3 = 3

4X 1 + X 2 – X 3 = 16

Решение.Преобразуем расширенную матрицу системы

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = –1, следовательно, данная система несовместна. Данный вывод можно также получить, если заметить, что ранг матрицы системы равен 2, тогда как ранг расширенной матрицы системы равен 3.

Метод Гаусса-Жордана. Как найти обратную матрицу
с помощью элементарных преобразований?

Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого Jordan как Жордан) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе...

Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.

На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Жо рдан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований?

…да, такое бывает только по любви =)

Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жо рдана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:

Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя .

Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований .

Не мудрствуя лукаво:

Пример 1

Решить систему методом Гаусса-Жордана

Решение : это первое задание урока Метод Гаусса для чайников , где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду:

Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: ,
а потом ещё один ноль вот здесь: .

Идеальный с точки зрения простоты случай:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.

Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:

Ответ :

Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.

Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями:

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.

Решение : первая часть задания хорошо знакома:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.

(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.

(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7

(4) Третью строку разделили на 2.

Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду .

Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:

Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа , и этими соображениями обусловлено 5-е преобразование матрицы:

(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа . В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.

(8) К первой строке прибавили вторую.

(9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система:

Элементарно выражаем базисные переменные через свободную:

и записываем:

Ответ : общее решение:

В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.

И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением .

Для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований

Такая формулировка задачи предполагает использование метода Гаусса-Жордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные . Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными . Существуют и другие варианты.

Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля.

Примечание : термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса здесь не при чём!

Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными . Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений , причём там выбран другой базис .

Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче:

Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.

Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:

(Понятно, что обратная матрица должна существовать)

Демо-пример 4

Найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К первой строке прибавили вторую строку.

(3) Вторую строку разделили на –2.

Ответ :

Сверьтесь с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу?

Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:

Пример 5

Решение : присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса :

(1) Первую и третью строки поменяли местами. На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица (вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет) . Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1) . Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы».

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.

(3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1

Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40. Отличие будет в более громоздких вычислениях.

К слову о вычислениях. Для решения задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа здесь фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку.

(4) Третью строку умножаем на 5, вторую строку на 4, первую строку на «минус двадцать»:

(5) К 1-й и 2-й строкам прибавили третью строку.

(6) Первую и третью строки разделили на 5, вторую строку умножили на –1.

(7) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (–20 и 44) равно 220. Первую строку умножаем на 11, вторую строку – на 5.

(8) К первой строке прибавили вторую строку.

(9) Первую строку умножили на –1, вторую строку разделили «обратно» на 5.

(10) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (44, 44 и 4). Совершенно понятно, что это число 44. Третью строку умножаем на 11.

(11) Каждую строку делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь!

Таким образом, обратная матрица:

Внесение и вынесение -й, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи.

Ответ :

Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице .

Продвинутые люди могут несколько сократить решение, но должен предупредить, спешка тут чревата ПОВЫШЕННЫМ риском допустить ошибку.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти обратную матрицу методом Гаусса-Жордана.

Примерный образец оформления задачи внизу страницы. И ради того, чтобы вы «не проехали мимо с песнями» я оформил решение в уже упомянутом стиле – исключительно через НОК столбцов без единой перестановки строк и дополнительных искусственных преобразований. По моему мнению, эта схема – если и не самая, то одна из самых надёжных .

Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: .

На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы».

И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: .

Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей сайт:

Пример 7

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел) , я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения. Моя поздняя версия внизу страницы.

И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение:


(1) Первую и вторую строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5.
(3) Третью строку разделили на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 7.
(6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.
(7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку.
(8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15.
(9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2
(10) К первой строке прибавили вторую строку.
(11) Вторую строку разделили на 2.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Ответ : общее решение:

Пример 6: Решение : обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований:


(1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5.
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку.
(3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5.
(4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9.
(5) К третьей строке прибавили вторую строку.


(6) Вторую строку разделили на 7.
(7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4.
(8) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(10) Вторую строку разделили на 2.
(11) Каждую строку разделили на 27.
В результате:
Ответ :

Пример 7: Решение : найдём обратную матрицу методом Гаусса-Жордана:
(1) К 1-й и 4-й строкам прибавили 3-ю строку.
(2) Первую и четвёртую строки поменяли местами.
(3) Ко 2-й строке прибавили 1-ю строку. К 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2:


(4) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –2. К 4-й строке прибавили 2-ю строку.
(5) К 1-й и 3-й строкам прибавили 4-ю строку, умноженную на –1.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на –2.
Ответ :

метод Гаусса–Жордана - один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком, что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
2. Приводим матрицу к "треугольному" виду;
3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через переменные которые могут принимать произвольные значения;

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

1. Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент a i i равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a 1 1 отличен от нуля - переходим к следующему шагу;
2. Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента K j =a j i /a i i ;
3. Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: a j k нов.=a j k -K j *a i k ; После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n - размерность матрицы A
4. В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пa i i , которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце. Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк. Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

Уравнение имеет решение: если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В этом случае любой -мерный вектор называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.

Общая характеристика разрешенной системы уравнений

Дать характеристику системе уравнений .

Решение :

1. Входит ли в состав противоречивое уравнение? (Если коэффициенты, в этом случае уравнение имеет вид: и называется противоречивым .)

• Если система содержит противоречивое, то такая система несовместна и не имеет решения

2. Найти все разрешенные переменные . (Неизвестная называется разрешенной для системы уравнений, если она входит в одно из уравнений системы с коэффициентом +1, а в остальные уравнения не входит (т.е. входит с коэффициентом, равным нулю).

3. Является ли система уравнений разрешенной? (Система уравнений называется разрешенной , если каждое уравнение системы содержит разрешенную неизвестную, среди которых нет совпадающих)

Разрешенные неизвестные, взятые по одному из каждого уравнения системы, образуют полный набор разрешенных неизвестных системы. (в нашем примере это )

Разрешенные неизвестные, входящие в полный набор, называют также базисными (), а не входящие в набор — свободными ().

На данном этапе главное понять что такое разрешенная неизвестная (входящая в базис и свободная).

Общее Частное Базисное решения

Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные:

Частным решением называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.

Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных.

• Базисное решение (вектор) называется вырожденным , если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
• Базисное решение называется невырожденным , если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.

Теорема (1)

Разрешенная система уравнений всегда совместна (потому что она имеет хотя бы одно решение); причем если система не имеет свободных неизвестных, (то есть в системе уравнений все разрешенные входят в базис) то она определена (имеет единственное решение); если же имеется хотя бы одна свободная переменная, то система не определена (имеет бесконечное множество решений).

Решение :

1. Проверяем является ли система разрешенной?

• Система является разрешенной (т.к. каждое из уравнений содержит в себе разрешенную неизвестную)

2. Включаем в набор разрешенные неизвестные — по одному из каждого уравнения .

3. Записываем общее решение в зависимости от того какие разрешенные неизвестные мы включили в набор .

4. Находим частное решение . Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор приравнять к произвольным числам.

Ответ: частное решение (один из вариантов)

5. Находим базисное решение . Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор к нулю.

Элементарные преобразования линейных уравнений

Системы линейных уравнений приводятся к равносильным разрешенным системам с помощью элементарных преобразований.

Теорема (2)

Если какое-либо уравнение системы умножить на некоторое отличное от нуля число , а остальные уравнения оставить без изменения, то . (то есть если умножить левую и правую часть уравнения на одно и то же число то получится уравнение, равносильное данному)

Теорема (3)

Если к какому-либо уравнению системы прибавить другое , а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной . (то есть если сложить два уравнения (сложив их левые и правые части) то получится уравнение равносильное данным)

Следствие из Теорем (2 и 3)

Если к какому-либо уравнению прибавить другое, умноженное на некоторое число , а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной .

Формулы пересчета коэффициентов системы

Если у нас есть система уравнений и мы хотим преобразовать ее в разрешенную систему уравнений в этом нам поможет метод Жордана-Гаусса.

Преобразование Жордана с разрешающим элементом позволяет получить для системы уравнений разрешенную неизвестную в уравнении с номером . (пример 2).

Допустим мы хотим сделать неизвестную в нижнем уравнении разрешенной неизвестной. Для этого мы должны разделить на , так чтобы сумма .

При делении уравнения с номером на , его коэффициенты пересчитываются по формулам:

Чтобы исключить из уравнения с номером , нужно уравнение с номером умножить на и прибавить к этому уравнению.

Теорема (4) О сокращении числа уравнений системы.

Если система уравнений содержит тривиальное уравнение, то его можно исключить из системы, при этом получится система равносильная исходной.

Теорема (5) О несовместимости системы уравнений.

Если система уравнений содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.

Алгоритм метода Жордана-Гаусса

Алгоритм решения систем уравнений методом Жордана-Гаусса состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых производятся действия в следующем порядке:

1. Проверяется, не является ли система несовместной. Если система содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.
2. Проверяется возможность сокращения числа уравнений. Если в системе содержится тривиальное уравнение, его вычеркивают.
3. Если система уравнений является разрешенной, то записывают общее решение системы и если необходимо — частные решения.
4. Если система не является разрешенной, то в уравнении, не содержащем разрешенной неизвестной, выбирают разрешающий элемент и производят преобразование Жордана с этим элементом.
5. Далее заново переходят к пункту 1

Найти : два общих и два соответствующих базисных решения

Решение :

Вычисления приведены в нижеследующей таблице:

Справа от таблицы изображены действия над уравнениями. Стрелками показано к какому уравнению прибавляется уравнение с разрешающим элементом, умноженное на подходящий множитель.

В первых трех строках таблицы помещены коэффициенты при неизвестных и правые части исходной системы. Результаты первого преобразования Жордана с разрешающим элементом равным единице приведены в строках 4, 5, 6. Результаты второго преобразования Жордана с разрешающим элементом равным (-1) приведены в строках 7, 8, 9. Так как третье уравнение является тривиальным, то его можно не учитывать.